Brüche addieren oder subtrahieren Rechner

Lösung:
Lösungsweg:

Mit diesem Rechner lassen sich 2 Brüche oder gemischte Zahlen addieren oder subtrahieren. Das Ergebnis wird inklusive Lösungsweg angegeben.

Brüche gleichnamig machen

Um 2 Brüche addieren oder subtrahieren zu können, müssen diese auf den gleichen Nenner gebracht werden. Wenn Brüche den gleichen Nenner haben, werden sie gleichnamig genannt. Der gemeinsame Nenner ist (normalerweise) ein gemeinsames Vielfaches beider Nenner. Wenn zum Beispiel der Nenner vom ersten Bruch 2 ist und der Nenner vom zweiten Bruch 3 ist, dann wären unter anderem 6, 12, 18, 24, ... mögliche gemeinsame Nenner. Häufig lassen sich gemeinsame Nenner realtiv intuitiv oder durch ein wenig "Herumprobieren" finden. Manchmal kann es aber auch etwas schwieriger werden.

ein Nenner ist Vielfaches des anderen Nenners:

Wenn sich ein Nenner durch den anderen Nenner teilen lässt, dann bietet es sich an diesen Nenner als gemeinsames Vielfaches zu wählen. Möchte man zum Beispiel
1
2
und
5
8
addieren, dann sollte man 8 als gemeinsamen Nenner wählen.

kleinstes gemeinsames Vielfaches:

Man könnte auch (in aufsteigender Reihenfolge) so lange neue Vielfache der beiden Nenner bilden, bis ein Vielfaches für beide Nenner vorkommt.

Steht zum Beispiel im einen Nenner eine 5 und im anderen eine 7, dann listet man Vielfache von 5 und von 7 auf:

Vielfache von 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ...
Vielfache von 7: 7, 14, 21, 28, 35, ...

Die 35 kommt in beiden Auflistungen vor und da es keine kleinere Zahl gibt, die in beiden Listen vorkommt, ist sie das kleinste gemeinsame Vielfache. Es bietet sich also an die beiden Brüche so zu erweitern, dass bei beiden im Nenner eine 35 steht.

Produkt der beiden Nenner:

Eine einfache Möglichkeit, um einen gemeinsamen Nenner zu finden, ist, dass man einfach die beiden Nenner miteinander multipliziert. Wenn zum Beispiel im einen Nenner eine 10 steht und im anderen eine 12, dann könnte man 10∙12 = 120 als gemeinsamen Nenner wählen. Dadurch lässt sich sehr schnell ein gemeinsamer Nenner finden, aber diese Methode hat den Nachteil, dass die Zahlen in den Brüchen häufig größer werden als sie müssten.

Brüche addieren

Wenn man 2 Brüche addieren möchte, dann müssen diese zuerst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Danach addiert man die beiden Zähler und schreibt das Ergebnis in den Zähler vom Ergebnisbruch und in den Nenner wird der gemeinsame Nenner geschrieben. Wenn man möchte kann man den Bruch danach noch vereinfachen.

Beispiel:

Aufgabe:
2
3
+
1
5

Als gemeinsamen Nenner wird 15 gewählt:
2
3
+
1
5
=
10
15
+
3
15

Die Zähler werden addiert und in den Nenner wird der gemeinsame Nenner geschrieben:
10
15
+
3
15
=
10 + 3
15
=
13
15

13
15
kann nicht weiter vereinfacht werden.

Brüche subtrahieren

Die Subtraktion von 2 Brüchen funktioniert äquivalent zur Addition. Die beiden Brüche müssen zuerst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Danach wird vom Zähler des ersten Bruchs der Zähler des zweiten Bruchs abgezogen und das Ergebnis wird in den Zähler des Ergebnisbruchs geschrieben. Und in den Nenner vom Ergebnisbruch wird der gemeinsame Nenner geschrieben. Danach kann der Bruch noch vereinfacht werden.

Beispiel:

Aufgabe:
3
4
−
5
7

Als gemeinsamen Nenner wird 28 gewählt:
3
4
−
5
7
=
21
28
−
20
28

Subtraktion durchführen:
21
28
−
20
28
=
21 − 20
28
=
1
28

gemischte Zahlen addieren:

Wenn man 2 gemischte Zahlen addieren möchte, dann gibt es 2 Möglichkeiten. Entweder wandelt man die gemischte Zahl vor dem Addieren in einen unechten Bruch um oder man addiert die beiden gemischten Zahlen ohne eine Umwandlung in einen unechten Bruch.

Addition mit Umwandlung in einen unechten Bruch:

Die gemischte Zahl wird zuerst in einen unechten Bruch umgewandelt. Dafür wird die Zahl, die vor dem Bruch steht mit dem Nenner multipliziert und zum Zähler hinzuaddiert. Dann werden die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und addiert. Am Schluss wird der Bruch wieder in eine gemischte Zahl umgewandelt und wenn man möchte kann man den Bruch noch vereinfachen.

Beispiel:

Aufgabe: 2
2
3
+1
1
5

Umwandlung in Brüche:
2
2
3
+1
1
5
=
2∙3 + 2
3
+
1∙5 + 1
5
=
8
3
+
6
5

Die Brüche werden auf das gemeinsame Vielfache 15 gebracht:
8
3
+
6
5
=
40
15
+
18
15

Addition durchführen:
40
15
+
18
15
=
40 + 18
15
=
58
15

In gemischte Zahl umwandeln:
58
15
=3
13
15

Der Bruch kann nicht weiter vereinfacht werden.

Addition ohne Umwandlung in einen unechten Bruch:

Zwischen den ganzzahligen Teil und den Bruch wird das Plus-Zeichen, welches normalerweise weggelassen wird, wieder eingefügt. Zum Beispiel wandelt man die Zahl 2
1
3
in 2 +
1
3
um. Danach werden die ganzen Zahlen miteinander addiert und danach werden die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und miteinander addiert. Wenn der Bruch nach dem Addieren ein unechter Bruch ist (Zähler ist betragsmäßig größer als Nenner), dann wird der Bruch in eine gemischte Zahl umgewandelt und zur Summe der ganzzahligen Anteile hinzuaddiert.

Beispiel:

Aufgabe: 2
2
3
+1
4
5

Plus-Zeichen zwischen die ganzzahligen Anteile und die Brüche schreiben:
2
2
3
+1
4
5
= 2 +
2
3
+ 1 +
4
5

ganzzahlige Anteile addieren:
2 +
2
3
+ 1 +
4
5
= 3 +
2
3
+
4
5

Brüche auf gemeinsamen Nenner bringen und addieren:
3 +
2
3
+
4
5
= 3 +
10
15
+
12
15
= 3 +
22
15

unechten Bruch in gemischte Zahl umwandeln und zur Summe der ganzzahligen Anteile hinzuaddieren:
3 +
22
15
= 3 + 1
7
15
= 4
7
15

gemischte Zahlen subtrahieren

Subtraktion mit Umwandlung in einen unechten Bruch:

Die Subtraktion von gemischten Zahlen mit Umwandlung in einen unechten Bruch funktioniert äquivalent zur Addition von gemischten Zahlen mit Umwandlung in einen unechten Bruch. Die gemischten Zahlen werden in unechte Brüche umgewandelt. Dann werden die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und subtrahiert und das Ergebnis wird wieder in eine gemischte Zahl umgewandelt.

Beispiel:

Aufgabe: 3
1
3
- 1
3
5

Umwandlung in Brüche:
3
1
3
- 1
3
5
=
10
3
-
8
5

Brüche auf gemeinsamen Nenner bringen und Subtraktion durchführen:
10
3
-
8
5
=
50
15
-
24
15
=
50
15
-
24
15
=
50 - 24
15
=
26
15

In gemischte Zahl umwandeln:
26
15
= 1
11
15

Subtraktion ohne Umwandlung in unechten Bruch:

Die Subtraktion von gemischten Zahlen ohne Umwandlung in einen unechten Bruch funktioniert sehr ähnlich zur Addition von gemischten Zahlen ohne Umwandlung in einen unechten Bruch. Es werden wieder Plus-Zeichen zwischen die ganzzahligen Anteile und die Brüche geschrieben. Dann werden die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und die ganzen Zahlen werden subtrahiert. Wenn der vordere Bruch (der Minuend) größer oder gleich groß ist wie der hintere Bruch (Subtrahend), dann kann für die beiden Brüche einfach die Subtraktion durchgeführt werden. Wenn der hintere Bruch (der Subtrahend) größer ist, dann muss vor der Subtraktion der Brüche zuerst die ganze Zahl verringert werden (typischerweise um 1) und der Wert, um den die ganze Zahl verringert wurde, wird zum vorderen Bruch hinzuaddiert. Wenn danach der hintere Bruch nicht mehr größer ist als der vordere Bruch, kann für die beiden Brüche die Subtraktion durchgeführt werden.

Beispiel:

Aufgabe: 3
1
3
- 1
3
5

Plus-Zeichen einfügen und Brüche auf gemeinsamen Nenner bringen:
3
1
3
- 1
3
5
= 3 +
1
3
- (1 +
3
5
) = 3 +
1
3
- 1 -
3
5
= 3 +
5
15
- 1 -
9
15

ganzzahlige Anteile subtrahieren:
3 +
5
15
- 1 -
9
15
= 2 +
5
15
-
9
15

5
15
ist kleiner als
9
15
. Deshalb muss die 2 um 1 verringert werden und die 1 muss zum ersten Bruch hinzuaddiert werden:
2 +
5
15
-
9
15
= 1 +
15
15
+
5
15
-
9
15
= 1 +
20
15
-
9
15

Jetzt, wo der erste Bruch größer als der zweite Bruch ist, kann für die Brüche die Subtraktion durchgeführt werden:
1 +
20
15
-
9
15
= 1 +
20 - 9
15
= 1 +
11
15
= 1
11
15

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