Brüche kürzen oder erweitern Rechner

Mit diesem Rechner lassen sich Brüche kürzen oder erweitern. Für das Kürzen kann ausgewählt werden, ob der Bruch um eine bestimmte Zahl oder so weit wie möglich gekürzt werden soll.

Brüche erweitern

Um einen Bruch um eine bestimmte Zahl zu erweitern, muss sowohl der Zähler als auch der Nenner mit dieser Zahl multipliziert werden.

Als Beispiel soll der Bruch

um 5 erweitert werden. Dann rechnet man:

4∙5

7∙5

Brüche kürzen

Um einen Bruch um eine bestimmte Zahl zu kürzen, muss sowohl der Zähler als als der Nenner durch diese Zahl geteilt werden.

Wenn zum Beispiel der Bruch

um 8 gekürzt werden soll, dann rechnet man:

16:8

56:8

Damit ein Bruch durch eine Zahl gekürzt werden kann, muss sowohl der Zähler als auch der Nenner durch diese Zahl teilbar sein.

kann zum Beispiel um 8, 4 oder 2 gekürzt werden, aber nicht um 7, weil 16 nicht durch 7 teilbar ist.

Das Kürzen von Brüchen wird häufig dafür eingesetzt, um mit den Brüchen leichter weiterrechnen zu können. Zum Beispiel lässt sich mit

meistens deutlich leichter weiterrechnen, als mit

314

1256

. Außerdem sind gekürzte Brüche für Menschen häufig aussagekräftiger als Brüche mit großen Zahlen.

gemeinsamen Teiler finden:

Teilbarkeitsregeln:

Das Finden von gemeinsamen Nennern kann sehr mühselig sein und teilweise gibt es (abgesehen von der 1) auch gar keinen gemeinsamen Teiler. Bei der Suche nach gemeinsamen Teilern können sogenannte Teilbarkeitsregeln helfen. Die folgende Auflistung enthält einige wichtige Teilbarkeitsregeln. Es gibt aber noch mehr:

eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer gerade ist
eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist
eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die aus den letzten 2 Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist
eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 ist
eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn die Zahl durch 2 und durch 3 teilbar ist
eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die aus den letzten 3 Ziffern gebildete Zahl durch 8 teilbar ist
eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist
eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 ist

Als Beispiel sollen Teiler von 1428 gefunden werden:

Teilbarkeit durch 2: Die letzte Ziffer (8) ist gerade. Somit ist 1428 durch 2 teilbar.

Teilbarkeit durch 3: Die Quersumme von 1428 ist 1+4+2+8 = 15. 15 ist durch 3 teilbar und somit ist auch 1428 durch 3 teilbar.

Teilbarkeit durch 4: Die Zahl, die aus den letzten beiden Ziffern gebildet wird, ist 28 und die ist durch 4 teilbar. Somit ist auch 1428 durch 4 teibar.

Teilbarkeit durch 5: 1428 endet nicht auf einer 0 oder einer 5 und ist somit nicht durch 5 teilbar.

Teilbarkeit durch 6: 1428 ist sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar und somit ist sie auch durch 6 teilbar.

Teilbarkeit durch 8: Die aus den letzten 3 Ziffern gebildete Zahl ist 428. 400 ist durch 8 teilbar, 28 aber nicht. Somit ist 428 nicht durch 8 teilbar und das bedeutet, dass auch 1428 nicht durch 8 teilbar ist.

Teilbarkeit durch 9: Die Quersumme ist 15 und 15 ist nicht durch 9 teilbar. Somit ist auch 1428 nicht durch 9 teilbar.

Teilbarkeit durch 10: 1428 endet nicht auf einer 0 und ist somit auch nicht durch 10 teilbar.

1428 ist somit teilbar durch 2, 3, 4 und 6. Es kann aber auch noch weitere Teiler geben.

Angenommen man möchte den Bruch

927

1428

vereinfachen. Dann kann man das Gleiche auch noch einmal für die 927 machen. Dann erhält man als Teiler 3 und 9. Auch bei der 927 könnte es wieder mehr Teiler geben, aber 3 und 9 sind die Teiler, die mit den obigen Regeln gefunden wurden. Nun vergleicht man die gefundenen Teiler der beiden Zahlen und stellt fest, dass 3 ein gemeinsamer Teiler ist. Also bietet es sich an den Bruch um 3 zu kürzen. Dann erhält man

309

476

. Nun könnte man die Regeln noch einmal auf den neuen Zähler und den neuen Nenner anwenden. Dann erhält man für 309 als Teiler 3 und für 476 erhält man 2 und 4. Mit den angewendeten Regeln konnte somit kein weiterer gemeinsamer Teiler gefunden werden.

Vorteile und Nachteile: Bei der Suche von gemeinsamen Teilern mit der Hilfe von Teilbarkeitsregeln erhält man nicht immer den größten gemeinsamen Teiler und das führt dazu, dass die Brüche nicht immer so weit gekürzt werden, wie sie gekürzt werden könnten. Die Anwendung der Teilbarkeitsregeln ist aber relativ einfach und somit sind sie praxistauglich.

Primfaktorzerlegung:

Jede ganze Zahl größer 0 lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen. Dieses Produkt nennt sich Primfaktorzerlegung und die einzelnen Faktoren des Produkts nennen sich Primfaktoren.

Zum Beispiel lässt sich 140 wie folgt darstellen: 2∙2∙5∙7
Und für 84 gilt: 84 = 2∙2∙3∙7
Die Primfaktoren von 140 sind somit: 2, 2, 5, 7
Und Primfaktoren von 84: 2, 2, 3, 7

Aus den beiden Primfaktorzerlegungen lässt sich nun der größte gemeinsame Teiler (kurz ggT) ermitteln. Dafür muss man das Produkt aller Primfaktoren bilden, die in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommen. Wenn eine Zahl in beiden Primfaktorzerlegungen mehrfach auftaucht, wird diese Zahl auch mehrfach in das Produkt für die ggT-Ermittlung geschrieben.

Im Beispiel sind die gemeinsamen Primfaktoren 2, 2 und 7. Somit rechnet man 2∙2∙7 = 28. Somit ist 28 der größte gemeinsame Teiler von 140 und 84.

Wenn man den Bruch

140

um 28 kürzt, erhält man

und das ist so weit wie möglich gekürzt.

Vorteile und Nachteile: Mit Hilfe der Primfaktorzerlegung lässt sich der größte gemeinsame Teiler vom Zähler und vom Nenner bestimmen. Wird der Bruch um den ggT gekürzt, ist der Bruch nach dem Kürzen immer so weit wie möglich vereinfacht. Mit kleinen Zahlen lassen sich die Primfaktorzerlegungen häufig relativ leicht durchführen. Bei größeren Zahlen hingegen kann sie mit sehr viel Aufwand verbunden und unpraktikabel sein.

euklidischer Algorithmus:

Mit dem euklidischen Algorithmus lässt sich der größte gemeinsame Teiler von 2 Zahlen bestimmen. In jedem Schritt vom Algorithmus wird die größere Zahl mit Rest durch die kleinere Zahl geteilt. Im nächsten Schritt wird die kleinere Zahl zur neuen größeren Zahl und der Rest wird zur neuen kleineren Zahl. Dies wird so lange wiederholt, bis der Rest 0 ist. Der ggT ist die kleinere Zahl in der untersten Zeile.

Als Beispiel soll wieder der ggT von 140 und 84 ermittelt werden. Also teilt man im ersten Schritt 140 durch 84 mit Rest.

Man erhält: 14:84 = 1 Rest 56

Im nächsten Schritt wird die 84 zur neuen größeren Zahl und die 56 zur neuen kleineren Zahl.
Also rechnet man: 84:56 = 1 Rest 28

Im nächsten Schritt teilt man die 56 durch die 28:
56:28 = 2 Rest 0

Der Rest ist 0 und deshalb muss nicht weiter gerechnet werden. Der ggT von 140 und 84 ist die kleinere Zahl im letzten Schritt. Also die 28.

Vorteile und Nachteile: Der euklidische Algorithmus liefert so wie auch die Primfaktorzerlegung den größten gemeinsamen Teiler. Wird der Bruch durch den ggT geteilt, ist er hinterher so weit wie möglich gekürzt. Beim euklidischen Algorithmus gibt es aber eine ganz klare Vorgehensweise und es muss nicht "herumprobiert" werden. Häufig muss man aber für den euklidischen Algorithmus mehrere Divisionen durchführen, was, wenn man es händisch macht, zeitaufwendig sein kann.