Über den Rechner
Mit diesem Rechner lässt sich für eine Zahl die Primfaktorzerlegung durchführen. Optional lässt sich die Primfaktorzerlegung zusätzlich, wenn sie mehrere gleiche Primfaktoren enthält, in der kanonischen Darstellung anzeigen.
Was ist eine Primzahl?
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die durch genau 2 positive ganze Zahlen teilbar ist. Bei den beiden möglichen Teilern handelt es sich um die Zahl 1 und um die Primzahl selber.
Zum Beispiel sind die Zahlen 2, 3, 5, 7, 11 und 13 Primzahlen, weil sie sich jeweils durch 1 und durch sich selber ohne Rest teilen lassen, aber durch keine weitere natürliche Zahl.
Die Zahl 4 ist hingegen nicht nur durch 1 und 4 teilbar, sondern auch durch 2. Somit ist 4 keine Primzahl.
Warum ist 1 keine Primzahl?
Eine Primzahl ist per Definition durch genau 2 natürliche Zahlen teilbar. Die Zahl 1 ist hingegen nur durch eine natürliche Zahl (nämlich die 1) teilbar und somit ist 1 keine Primzahl.
Primfaktorzerlegung
Jede natürliche Zahl größer als 1 ist entweder selber eine Primzahl oder lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen. Die einzelnen Faktoren dieses Produkts werden Primfaktoren genannt. Als Primfaktorzerlegung bezeichnet man das Darstellen einer natürlichen Zahl als Produkt von Primzahlen.
Beispiele:
Die Primfaktorzerlegung von 60 sieht wie folgt aus: 2 · 2 · 3 · 5
Die Primfaktoren sind somit 2, 2, 3 und 5.
Die Zahl 17 ist schon eine Primzahl und wird deshalb bei der Primfaktorzerlegung nicht weiter aufgespalten.
Die Primfaktorzerlegung von 45 sieht wie folgt aus: 3 · 3 · 5
Wie geht man bei der Primfaktorzerlegung vor?
Fall - die Zahl ist eine Primzahl:
Wenn die Zahl, für welche die Primfaktorzerlegung durchgeführt werden soll, schon eine Primzahl ist, dann kann die Zahl nicht weiter zerlegt werden und man ist fertig.
Fall - die Zahl ist keine Primzahl:
| 12 |
| 2 |
Wenn jetzt noch nicht alle Zahlen des Produkts Primzahlen sind, dann sieht man sich als nächstes einen Faktor an, der noch keine Primzahl ist, bestimmt wieder den Teiler von diesem Faktor und ersetzt den Faktor wieder durch ein Produkt, bei dem einer der Faktoren der bestimmte Teiler ist. Dies wiederholt man so lange, bis alle Faktoren des Produkts Primzahlen sind.
Beispiel:
Es soll die Primfaktorzerlegung für die Zahl 420 durchgeführt werden.
420 ist offensichtlich durch 2 teilbar. Also gilt:
420 = 2 · 210
2 ist eine Primzahl und kann somit nicht weiter zerlegt werden. 210 ist keine Primzahl und ist durch 2 teilbar. Also kann man die 210 durch das Produkt aus 2 und 105 ersetzen.
420 = 2 · 2 · 105
Die 105 ist durch 5 teilbar:
420 = 2 · 2 · 5 · 21
Die 21 lässt sich noch durch 3 · 7 ersetzen:
420 = 2 · 2 · 5 · 3 · 7
Nun handelt es sich bei allen Faktoren des Produkts um Primzahlen und somit ist man fertig. Wenn man möchte, kann man zur besseren Lesbarkeit noch die Faktoren nach ihrer Größe sortieren.
420 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7
Um herauszufinden, ob es sich bei einem Faktor um eine Primzahl handelt oder bei der Suche nach geeigneten Teilern kann eine Liste mit Primzahlen sinnvoll sein.
kanonische Primfaktorzerlegung
Bei der kanonischen Darstellung einer Primfaktorzerlegung werden gleiche Faktoren zu Potenzen zusammengefasst.
Zum Beispiel ist von der Zahl 600 die Primfaktorzerlegung: 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5
In die kanonische Darstellung umgewandelt ist dies: 23 · 3 · 52
Wofür wird die Primfaktorzerlegung benötigt?
Die Primfaktorzerlegung kann dafür genutzt werden, um von einer Zahl den größten gemeinsamen Teiler (kurz ggT) oder das kleinste gemeinsame Vielfache (kurz kgV) zu bestimmen. Der ggT kann dazu genutzt werden, um einen Bruch so weit wie möglich zu kürzen. Das kgV kann dazu genutzt werden, um 2 Brüche gleichnamig zu machen, um die Brüche addieren oder subtrahieren zu können.