Brüche vergleichen oder ordnen - Rechner

Über den Rechner

Mit diesem Rechner lassen sich wahlweise entweder 2 Brüche vergleichen oder 2 oder mehr Brüche ordnen. Es wird sowohl die Lösung als auch der Rechenweg angegeben.

Um einen negativen Bruch einzugeben, muss "gemischte Zahlen" ausgewählt werden und das Minuszeichen kommt in das Feld für den ganzzahligen Anteil. Es kann auch eine ganze Zahl eingegeben werden, indem diese in das Eingabefeld für den ganzzahligen Anteil eingetragen wird und die Felder für den Zähler und den Nenner leer gelassen werden.

Wie vergleicht man 2 Brüche?

positive gleichnamige Brüche:

Wenn 2 positive Brüche den gleichen Nenner haben, dann lassen sie sich einfach vergleichen, indem man von beiden Brüchen die Zähler vergleicht. Wenn der Zähler von einem der beiden gleichnamigen Brüche größer ist als der Zähler vom anderen Bruch, dann ist es auch der Bruch selber. Und wenn beide Zähler der gleichnamigen Brüche gleich sind, dann sind auch die Brüche gleich.

Beispiele:

  • 5
    12
    <
    7
    12
  • 7
    10
    >
    3
    10
  • 7
    12
    =
    7
    12

negative gleichnamige Brüche:

Wenn beide gleichnamigen Brüche negativ sind, dann verhält es sich genau umgekehrt. Dann ist der Bruch größer, dessen Zähler kleiner ist.
Wenn ein Bruch positiv und einer negativ ist, dann ist immer der positive Bruch größer als der Negative.

Beispiele:

  • −
    5
    12
    > −
    7
    12
  • −
    7
    10
    < −
    3
    10
  • −
    2
    15
    <
    3
    15

Brüche mit unterschiedlichen Nennern:

Wenn sich die Nenner der beiden Brüche unterscheiden, dann müssen sie zuerst gleichnamig gemacht werden. Dafür wird ein gemeinsames Vielfaches gesucht und danach werden die Brüche so erweitert, dass sie hinterher beide den gleichen Nenner haben.

Wenn ein Nenner Vielfaches vom anderen Nenner ist, dann sollte er als gemeinsames Vielfaches verwendet werden. Dann muss nur der Bruch mit dem kleineren Nenner so erweitert werden, dass hinterher beide Brüche den größeren Nenner im Nenner stehen haben.

Beispiel:

Es sollen die beiden folgenden Brüche miteinander verglichen werden:
2
6
und
5
18

18 ist ein Vielfaches von 6 und somit sollte
2
6
so erweitert werden, dass hinterher eine 18 im Nenner steht.

2
6
=
2 · 3
6 · 3
=
6
18

Da
6
18
größer als
5
18
ist, ist auch
2
6
größer als
5
18
.

Wenn nicht der Nenner von einem der beiden Brüche Vielfaches vom Nenner vom anderen Bruch ist, dann bietet es sich an beide Brüche um den Nenner des jeweils anderen Bruchs zu erweitern. Das gemeinsame Vielfache ist dann das Produkt der beiden Nenner.

Beispiel:

Es sollen die beiden folgenden Brüche miteinander verglichen werden:
5
7
und
2
3

Also erweitert man den ersten Bruch um 3 und den zweiten um 7.

  • 5
    7
    =
    5 · 3
    7 · 3
    =
    15
    21
  • 2
    3
    =
    2 · 7
    3 · 7
    =
    14
    21

Da
15
21
größer als
14
21
ist, ist
5
7
größer als
2
3
.

Brüche, gemischte Zahlen und ganze Zahlen vergleichen

Es lässt sich auch ein Bruch mit einer gemischten oder ganzen Zahl vergleichen und eine gemischte Zahl lässt sich auch mit einer anderen gemischten Zahl oder einer ganzen Zahl vergleichen. Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass bei den Brüchen und gemischten Zahlen immer der Nenner größer ist als der Zähler. Wenn dem nicht der Fall sein sollte, dann müssen die Brüche oder gemischten Zahlen zuerst so umgewandelt werden, dass dem der Fall ist.

Wenn man einen Bruch, eine gemischte Zahl oder ganze Zahl mit einem anderen Bruch oder einer gemischten oder ganzen Zahl vergleichen möchte, dann sieht man sich zuerst an, ob sich die Vorzeichen unterscheiden. Wenn der eine Bruch (bzw. die eine Zahl) positiv ist und der andere (bzw. die andere) negativ, dann ist der positive Bruch (bzw. die positive Zahl) immer größer als der (bzw. die) Negative.

Beispiele:

  • −5
    2
    5
    < 2
    7
    8
  • 2
    3
    > −5
  • −2
    1
    2
    < 1
    2
    5

Wenn das Vorzeichen übereinstimmt, dann sieht man sich den ganzzahligen Anteil an. Bei echten Brüchen ist das 0 und bei ganzen Zahlen ist das die Zahl selber. Wenn sich diese unterscheiden, dann ist der Bruch (oder die Zahl) kleiner, bei dem (bzw. bei der) der ganzzahlige Anteil in Kombination mit dem Vorzeichen kleiner ist.

Beispiele:

  • 5
    2
    7
    > 2
    5
    7
  • −2
    3
    4
    < −1
    5
    7
  • 3 < 4
    2
    5
  • 1
    1
    4
    >
    5
    8

Wenn sowohl das Vorzeichen als auch der ganzzahlige Anteil gleich sind, dann sieht man sich den Bruchanteil an. Bei ganzen Zahlen kann man sich einen Bruch mit einer 0 im Zähler vorstellen. Sofern keiner der Brüche eine 0 im Zähler hat, müssen die beiden Bruchanteile gleichnamig gemacht werden. Danach vergleicht man die Zähler. Auch dabei müssen wieder die Vorzeichen berücksichtigt werden.

Beispiel:

Es sollen die beiden folgenden gemischten Zahlen miteinander verglichen werden: 2
2
7
und 2
3
10

Beide gemischten Zahlen sind positiv und beide haben eine 2 als ganzzahligen Anteil. Also müssen die Bruchanteile der beiden gemischten Zahlen verglichen werden. Dafür müssen sie zuerst gleichnamig gemacht werden.

  • 2
    2
    7
    = 2 +
    2 · 10
    7 · 10
    = 2
    20
    70
  • 2
    3
    10
    = 2 +
    3 · 7
    10 · 7
    = 2
    21
    70

Als Nächstes werden die beiden Zähler verglichen. 20 ist kleiner als 21. Somit ist 2
20
70
kleiner als 2
21
70
.

Daraus folgt: 2
2
7
< 2
3
10


Beispiel mit negativen Vorzeichen:

Es sollen die beiden folgenden gemischten Zahlen miteinander verglichen werden: −1
2
3
und −1
7
9

Beide gemischten Zahlen sind negativ und haben eine 1 als ganzzahligen Anteil. Also müssen wieder die beiden Bruchanteile verglichen werden. 3 ist ein Teiler von 9. Es bietet sich somit an den Bruchanteil von −1
2
3
um 3 zu erweitern.
  • −1
    2
    3
    = −(1 +
    2 · 3
    3 · 3
    ) = −1
    6
    9

Von −1
6
9
ist der Zähler kleiner als der Zähler von −1
7
9
. Da beide gemischten Zahlen negativ sind, ist aber nicht −1
6
9
kleiner, sondern −1
7
9
.

Daraus folgt: −1
2
3
> −1
7
9

Brüche ordnen

mit gleichem Vorzeichen:

Um Brüche, welche alle das gleiche Vorzeichen haben, zu ordnen, müssen zuerst alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Danach können sie geordnet werden, indem man die Zähler der Brüche miteinander vergleicht. Ein einfacher Weg, um einen gemeinsamen Nenner zu finden, ist, dass man das Produkt von allen Nennern bildet, die nicht Vielfaches eines anderen Nenners sind. Alternativ könnte man auch das kleinste gemeinsame Vielfache bestimmen, indem man so lange weitere Vielfache der Nenner berechnet, bis man ein Vielfaches von allen Nennern gefunden hat.

Beispiel:

Es sollen die folgenden 4 Brüche geordnet werden:
4
6
,
5
8
,
2
4
,
3
5

8 ist ein Vielfaches von 4 und deshalb ist jedes Vielfaches von 8 auch ein Vielfaches von 4. Darum muss nur ein gemeinsames Vielfaches von 5, 6 und 8 gefunden werden. Wenn man die 3 Zahlen multipliziert, erhält man 240. Um die 4 Brüche gleichnamig zu machen, kann man sie folglich so erweitern, dass hinterher alle 4 Brüche 240 als Nenner haben.

  • 4
    6
    =
    4 · 40
    6 · 40
    =
    160
    240
  • 5
    8
    =
    5 · 30
    8 · 30
    =
    150
    240
  • 2
    4
    =
    2 · 60
    4 · 60
    =
    120
    240
  • 3
    5
    =
    3 · 48
    5 · 48
    =
    144
    240

Ordnet man diese Brüche erhält man:

120
240
<
144
240
<
150
240
<
160
240

Somit gilt:

2
4
<
3
5
<
5
8
<
4
6

mit unterschiedlichen Vorzeichen:

Wenn sich unter den Brüchen, die man ordnen möchte, sowohl positive als auch negative Brüche befinden, dann ordnet man diese zuerst nach ihrem Vorzeichen. Dann macht man die negativen Brüche gleichnamig und die positiven Brüche werden gleichnamig gemacht. Die negativen Brüche dürfen auf einen anderen gemeinsamen Nenner gebracht werden als die positiven Brüche. Danach sortiert man zuerst die negativen Brüche und dann die positiven Brüche nach ihren Zählern.

Beispiel:

Es sollen die folgenden 4 Brüche geordnet werden: −
4
6
,
5
8
,
2
4
, −
3
5

Zuerst werden die Brüche nach ihrem Vorzeichen sortiert:

−
4
6
, −
3
5
,
5
8
,
2
4

Als Nächstes werden die negativen und die positiven Brüche jeweils gleichnamig gemacht. Für die negativen Brüche bietet sich 30 als gemeinsamer Nenner an und für die positiven 8.

  • −
    4
    6
    = −
    4 · 5
    6 · 5
    = −
    20
    30
  • −
    3
    5
    = −
    3 · 6
    5 · 6
    = −
    18
    30
  • 2
    4
    =
    2 · 2
    4 · 2
    =
    4
    8

Brüche nach dem Erweitern:

−
20
30
, −
18
30
,
5
8
,
4
8

Ordnet man diese Brüche erhält man:

−
20
30
< −
18
30
<
4
8
<
5
8

Somit gilt:

−
4
6
< −
3
5
<
2
4
<
5
8

Brüche, gemischte Zahlen und ganze Zahlen ordnen

Im Folgenden wird wieder davon ausgegangen, dass bei Brüchen und gemischten Zahlen der Nenner größer als der Zähler ist und dass Dezimalzahlen in Brüche umgewandelt wurden.

Vom Prinzip her funktioniert das Ordnen von gemischten Zahlen oder einer Kombination aus Brüchen, gemischten Zahlen und/oder ganzen Zahlen sehr ähnlich wie das Ordnen von positiven und negativen Brüchen. Zuerst wird nach dem geordnet, was vor den Brüchen bzw. Bruchanteilen steht (also den Vorzeichen und ganzzahligen Anteilen). Danach werden Brüche und gemischte Zahlen, bei denen sowohl die Vorzeichen als auch die ganzzahligen Anteile übereinstimmen, gleichnamig gemacht. Dann werden die Brüche und gemischten Zahlen mit gleichen Vorzeichen und ganzzahligen Anteilen anhand von den Zählern geordnet.

Beispiel:

Es sollen die folgenden 10 Brüche, gemischten Zahlen und ganzen Zahlen geordnet werden:

ID12345678910
Bruch/
Zahl		−2
3
4
−22
5
8
−2
5
8
22
4
7
−2
7
10
1
5
6
−3
1
4
3
4

Als erstes werden die Werte nach den Vorzeichen und den ganzzahligen Anteilen geordnet. Außerdem ist die 2 kleiner als die positiven gemischten Zahlen mit einer 2 im ganzzahligen Anteil und die −2 ist größer als die negativen gemischten Zahlen mit einer 2 als ganzzahligen Anteil.

ID91472108536
Bruch/
Zahl		−3
1
4
−2
3
4
−2
5
8
−2
7
10
−2
3
4
1
5
6
22
5
8
2
4
7

Die Werte in den Feldern mit grünem Hintergrund sind jetzt richtig einsortiert. Die Werte in den Feldern mit rotem Hintergrund sind möglicherweise noch nicht richtig einsortiert. −3
1
4
,
3
4
und 1
5
6
sind richtig einsortiert, weil es keine anderen gemischten Zahlen gibt, bei denen vor dem Bruchanteil "−3" oder "1" steht und weil es keinen anderen positiven echten Bruch gibt. −2 ist richtig einsortiert, weil es immer größer als gemischte Zahlen mit "−2" vor dem Bruch ist und 2 ist immer kleiner als positive gemischte Zahlen mit einer 2 im ganzzahligen Anteil.

Jetzt müssen nur noch die gemischten Zahlen sortiert werden, bei denen vor dem Bruch "−2" oder "2" steht. Dafür müssen diese zuerst gleichnamig gemacht werden. Ein gemeinsamer Nenner von 4, 8 und 10 ist 40 und ein gemeinsamer Nenner von 7 und 8 ist 56.

ID91472108536
Bruch/
Zahl		−3
1
4
−2
30
40
−2
25
40
−2
28
40
−2
3
4
1
5
6
22
35
56
2
32
56

Die gemischten Zahlen mit den gleichnamig gemachten Brüchen werden als nächstes mithilfe von ihren Zählern geordnet.

ID91742108563
Bruch/
Zahl		−3
1
4
−2
30
40
−2
28
40
−2
25
40
−2
3
4
1
5
6
22
32
56
2
35
56

Wenn man möchte, kann man die erweiterten Brüche wieder durch ihre ursprüngliche Form ersetzen.

ID91742108563
Bruch/
Zahl		−3
1
4
−2
3
4
−2
7
10
−2
5
8
−2
3
4
1
5
6
22
4
7
2
5
8

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